Абстрактное квазилинейное параболическое уравнение в условии гладкой разрешимости решается проекционно-разностным методом, с использованием по времени линейной схемы Эйлера неявной в главной части. Установлена сходимость и скорость сходимости приближённых решений к точному решению в норме, равномерной по времени и энергетической по пространству